オイラーの等式は、高校数学の一歩先の題材としてむちゃ優れてると思う

$e^{i\pi}=-1$

2017/01/17_05:29
三角比、指数・対数、複素数。それらが一つに結びつく。別々の分野に、次々に橋がかかっていく。これって、ものすごい。
というか、数学全体がものすごい。すべて生まれは違う。
直角三角形の辺の比から出てきた三角比が、拡張されて関数と見られるようになり、三角関数に。周期的で連続で微分可能なsinとcos。
同じ数の掛け算から、累乗部分について考えられるようになり、四則演算が定義され、累乗部分が整数から有理数、無理数へと拡張される。離散から連続へ。連続、微分可能な関数に。
方程式の解から虚数なる概念が生まれ、極形式で三角関数とまじわる。
何度でも微分可能な三角関数と指数関数。それらが結びつくことになろうとは。
eやπやi。これらは、それぞれ独立に、その後の議論をしていきやすいように定めた数たち。やのにそれらがすべて一つの式に集約される。おどろき。

これら一つ一つは、高校数学で習う。けど、それらがどう結びついていくのか？までは習わない。その、どう結びつくのか？が劇的なのが、オイラーの等式。
なので、高校数学の一歩先の題材として、とてもおもしろいと思う。

『オイラーの贈物』（吉田 武）

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