分数関数が連続関数か否かは、定義による

数研出版数学Ⅲ p65

関数の連続性
$a$を関数$f(x)$の定義域に属する値とするとき、関数$f(x)$が$x=a$で連続であるとは、次の2つのことが満たされていることである。
極限値$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$が存在する
$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$が成り立つ
この定義では、$f(x)=\frac{1}{x}$は、$x=0$で定義されていない関数であり、定義域に関しては連続であるので、「連続関数」と呼んでいる。

一方で、*『オイラーの贈物』（吉田武）*では、

与えられた関数が、点$x=a$において連続であるとは
1.$f(a)$が定義されている
極限値$\lim_{x \rightarrow a}f(x)$が存在し、有限確定値を取る
両者が一致する。すなわち$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$
とされており、この定義では、ある範囲のある点において定義されない関数は連続でない、ということになる。つまり、実数全体で$f(x)=\frac{1}{x}$を考える場合、$x=0$では定義されないため、連続でない関数、となる。

関数を考える範囲を、そもそも定義されない点をのぞいて、定義域のみで連続か否かで不連続とするか、まず範囲を考え、その範囲での全ての点で定義されていることを連続であるための条件に加えるかどうかの違いによる。